Liczby zmyślone

Określenie „liczba urojona” nie wzbudza raczej pozytywnych skojarzeń. Przywodzi na myśl coś fikcyjnego, zmyślonego, twór, który nie ma oparcia w rzeczywistości. Angielskie imaginary brzmi już zdecydowanie lepiej, gdyż kojarzy się przede wszystkim z wyobraźnią – imagination. Niemniej, tak po polsku, jak i po angielsku, liczby urojone kontrastują z rzeczywistymi (ang. real). Pewną lingwistyczną rehabilitacją jest scalenie obu rodzajów w system liczb zespolonych (ang. complex).

Ta nazwa sugeruje, że jeśli połączymy rzeczywistość z wyobraźnią, to dostaniemy… No właśnie, co?

Krótka historia liczb

Zanim spróbujemy odpowiedzieć na to kłopotliwe pytanie, przyjrzyjmy się krótko historii odkrywania (lub, jak kto woli, „wymyślania”) nowych rodzajów liczb.

Liczby naturalne są tak oczywiste, że towarzyszyły nam od zarania dziejów. Kontrowersje wzbudza jedynie naturalność liczby zero, choć z jej użyteczności zdawali sobie sprawę już starożytni Egipcjanie. Dużo mniej oczywiste wydają się liczby ujemne. Dla Greków były one wręcz absurdalne, gdyż musiałyby opisywać coś mniejszego od niczego. Z drugiej strony, Chińczycy już w III w. p.n.e. stosowali liczby ujemne w obrachunkach. Wpływ filozofii greckiej był jednak tak silny, że europejscy matematycy jeszcze w XVIII w. traktowali je nieufnie. Dopiero rozwój nowożytnej analizy i algebry doprowadził do równouprawnienia w ramach systemu liczb całkowitych.

Stosunki dwóch liczb naturalnych (z wyłączeniem problematycznego zera), czyli proporcje, były prawdopodobnie rozważane „od zawsze”. Można zatem śmiało twierdzić, że ułamki są równie oczywiste jak same liczby naturalne. We współczesnej nomenklaturze stosunki liczb całkowitych określa się mianem liczb wymiernych.

Na gruncie geometrii liczby wymierne wywodzą się z koncepcji współmierności dwóch odcinków: mówimy, że a i b są współmierne, jeśli istnieje taki odcinek c, który można odłożyć skończenie wiele razy tak na a, jak i na b. Innymi słowy, istnieją liczby naturalne (większe od 0) m oraz n, takie że a=cm i b=cn. Wówczas, a/b=m/n, z czego wynika, że a/m=b/n=c. Jednym z kluczowych osiągnięć starożytnych Greków było wykazanie, że nie wszystkie odcinki są współmierne. Najsłynniejszym przykładem, opracowanym w V w. p.n.e. przez pitagorejczyków, jest niewspółmierność przekątnej kwadratu do jego boku. W ten sposób wyłoniła się koncepcja liczb niewymiernych, takich jak √2 czy π. Wspólnie z ułamkami tworzą one system liczb rzeczywistych.

Skoro można sensownie analizować liczby takie jak √3 czy 2√(7/10), a nawet przypisać im geometryczne znaczenie, to dlaczego by nie rozważyć np. √(-2)? Dziś może nam się to wydawać naturalne, ale trzeba pamiętać o tym, że sama liczba -2 przez długie wieki była traktowana jako użyteczna fikcja. O ile bowiem łatwo sobie wyobrazić potrzebę zmierzenia długości przekątnej kwadratu, to jaki sens miałoby np. liczenie pierwiastka z czyjegoś długu?

Można jednak zupełnie sensownie poszukiwać rozwiązań pewnych równań. XVI-wieczny włoski uczony Girolamo Cardano postawił sobie bardzo prosty, pozornie, problem: czy istnieją dwie liczby takie, że ich suma daje 10, a ich iloczyn 40? Odpowiedź jest twierdząca, ale absurdalna, liczby te bowiem musiałyby być równe 5+√(-15) oraz 5-√(-15). Cardano, będąc świadomym abstrakcyjnego charakteru takich rozważań, opublikował wzory na rozwiązania równań trzeciego i czwartego stopnia zawierające pierwiastki z liczb ujemnych.

Magiczna algebra i geometria

Jaki jednak może być pożytek z takich abstrakcyjnych rozwiązań, wyrażonych dziwnymi symbolami? Otóż szybko okazało się, że operowanie liczbami zespolonymi prowadzi do zaskakujących uproszczeń „rzeczywistych” problemów.

Jako pierwszy zdał sobie z tego sprawę Rafael Bombelli, który w swoim monumentalnym dziele „L’algebra” opublikowanym w 1572 r. potraktował √(-1) jako zupełnie nowy rodzaj liczby, którą dziś nazywamy jednostką urojoną i oznaczamy literą „i”, oraz przedstawił systematyczny opis działań na liczbach zespolonych x+iy, gdzie x oraz y są rzeczywiste. Żeby zrozumieć magię zespolonej algebry, rozpatrzmy proste równanie x3=15x+4. Wzory Cardana podają rozwiązanie na x w postaci sumy pierwiastków sześciennych dwóch liczb zespolonych. Jeśli jednak sumiennie je wyliczymy, to okaże się, że x jest równe 4. Mamy zatem rzeczywiste równanie, które ma rzeczywiste rozwiązanie, ale żeby je odkryć, musimy przejść przez dziedzinę liczb zespolonych! Sam Bombelli początkowo traktował to jako „sofizmat raczej niż prawdę”, ale ostatecznie doszedł do wniosku, że jest to zupełnie uczciwy dowód.

Rozwiązanie x=4 wspomnianego równania można po prostu zgadnąć, więc ktoś mógłby sądzić, że istnieje prostsza metoda niż wzory Cardana. Jednak tak prosta postać rozwiązania to wyjątek w ramach klasy tzw. casus irreducibilis – równań trzeciego stopnia, które mają trzy rozwiązania rzeczywiste, niedających się jednakowoż wyrazić bez użycia liczb zespolonych. Proszę np. spróbować zgadnąć jakiekolwiek rozwiązanie równania x3=7x-3…

Wbrew pozorom liczby zespolone mają również bardzo ładną interpretację geometryczną. Odkryło ją na przełomie XVIII i XIX w. niezależnie od siebie czterech uczonych: Caspar Wessel, Jean Robert Argand, John Warren i Carl Friedrich Gauss. Pokazali oni, że dowolną liczbę zespoloną postaci x+iy można przedstawić jako punkt na płaszczyźnie o współrzędnych (x,y). Wówczas działaniom na liczbach zespolonych, np. dodawaniu czy mnożeniu, odpowiadają proste geometryczne operacje, np. przesunięcie o wektor czy obrót o kąt.

Prostota, a zarazem bogactwo świata liczb zespolonych urzekły wielu współczesnych naukowców. Np. Roger Penrose napisał w „Drodze do rzeczywistości”: „Samo stwierdzenie stosowalności i logicznej spójności pojęcia liczb zespolonych nie oddaje w pełni ich powabu. Posiadają one jeszcze coś innego, co potrafię określić tylko jako »magię«”.

Zespolony świat kwantów

Być może Penrose nie byłby pod tak wielkim wrażeniem liczb zespolonych, gdyby ich zastosowanie ograniczało się do czystej matematyki. Prawdziwa magia objawia się jednak w ich głębokim związku ze strukturą fundamentalnych teorii fizycznych. Choć algebra i analiza zespolona jest stosowana w wielu dziedzinach nauk ścisłych, od inżynierii przez ekonomię po teorię względności, to kluczową rolę odgrywa ona w mechanice kwantowej. Bez liczb zespolonych nie zrozumielibyśmy budowy atomu, nie odkrylibyśmy promieniotwórczości i nie skonstruowalibyśmy Modelu Standardowego cząstek elementarnych.

Dowolny układ kwantowy jest opisywany przez funkcję falową bądź też ogólniej – przez pewien wektor stanu. Ten ostatni żyje w przestrzeni zespolonej, przeważnie wielowymiarowej. Żeby zbadać własności danego układu, musimy wybrać pewną „obserwablę”, np. położenie, energię czy też pęd. Znając stan kwantowy, możemy precyzyjnie przewidzieć rozkład statystyczny pomiarów dowolnej obserwabli. Tym, co pozwala przejść od zespolonego stanu kwantowego do rzeczywistych wyników pomiarów, jest tzw. reguła Borna, zaproponowana w 1926 r. przez jednego z pionierów teorii kwantowej – Maxa Borna.

Wyobraźmy sobie pojedynczy foton lecący swobodnie w przestrzeni. Jego wektor stanu (dla uproszczenia ignorujemy polaryzację) jest opisany funkcją ψ o wartościach zespolonych. To oznacza, że w każdym punkcie przestrzeni x wielkość ψ(x) ma część rzeczywistą R(x) i część urojoną I(x). Przypuśćmy teraz, że stawiamy na drodze fotonu ekran światłoczuły i pytamy, jakie jest prawdopodobieństwo, że trafi on w wybrany piksel. Zgodnie z zasadami teorii kwantowej wyliczymy je stosując regułę Borna do ψ(x). Prawdopodobieństwo detekcji w każdym pikselu musi być oczywiście liczbą rzeczywistą z przedziału od 0 do 1. Jednak nie jest to po prostu rzeczywista część funkcji falowej fotonu, ale tzw. kwadrat modułu: R(x)²+I(x)². Geometrycznie ta wielkość opisuje kwadrat odległości liczby ψ(x) od początku układu współrzędnych na płaszczyźnie zespolonej.

Cała ta procedura wydaje się być cokolwiek wydumana – czy nie można po prostu założyć, że ψ ma tylko część rzeczywistą i koniec? Magia liczb zespolonych ujawnia się jednak, jeśli pomiędzy źródłem fotonu a naszym ekranem postawimy przesłonę z dwiema wąskimi szczelinami. Po przejściu przez szczeliny wektor stanu fotonu można zapisać jako ψ1+ψ2, gdzie ψ1 opisuje przejście przez pierwszą szczelinę, a ψ2 przez drugą. Ale teraz licząc prawdopodobieństwo detekcji z reguły Borna otrzymamy wynik (R1+R2)²+(I1+I2)², który nie jest sumą prawdopodobieństw pochodzących od ψ1 i ψ2 oddzielnie. Brzmi to wszystko magicznie, ale wyniki eksperymentów jednoznacznie wskazują na taką właśnie zespoloną naturę fotonów.

Co istnieje

Można twierdzić, że opis zjawisk fizycznych przy użyciu teorii kwantowej jest tylko sprytnym wybiegiem, niczym wzory Cardana prowadzące do rzeczywistych rozwiązań, ale nie mówi niczego o rzeczywistości. Jednak jeśli chcemy być konsekwentni, to musimy odmówić realności również liczbom niewymiernym. Nie jesteśmy przecież w stanie żadną aparaturą zmierzyć liczby π, a jedynie jej pewne wymierne przybliżenie 3,14159… Można by też argumentować, posiłkując się filozofią atomistyczną, że ułamki są tylko wytworem naszej wyobraźni, a prawdziwe (najbardziej fundamentalne) obiekty fizyczne są niepodzielne. Faktycznie, każdy eksperyment składa się ostatecznie z ciągu prostych binarnych zliczeń – piksel zaświecił albo nie zaświecił, strzałka woltomierza wychyliła się albo nie. To, jak mocno coś świeci czy jak bardzo się wychyla, jest tylko kwestią konwencji – tego, jaką podziałkę przyjmiemy. Zatem to, czy ostatecznie wyjdzie nam -7, 1/4, π czy √(-15), to tylko kwestia interpretacji danych.

W ten sposób dochodzimy do tzw. finitystycznej filozofii matematyki, w myśl której naprawdę istnieją tylko skończone obiekty matematyczne. Jej naczelnym orędownikiem był wybitny XIX-wieczny niemiecki matematyk Leopold Kronecker. Jest on autorem słynnego powiedzenia: „Bóg stworzył liczby całkowite, a cała reszta jest dziełem człowieka”. Skoro odmawiamy realności liczbom urojonym i niewymiernym nawet jako bytom matematycznym, to tym bardziej nie istnieją one w jakimkolwiek sensie w świecie fizycznym.

Można jednak rozumować odwrotnie: rozwój matematyki pokazuje, że to liczby zespolone są najbardziej podstawowe, a te, które określamy mianem „rzeczywistych”, są tylko ich szczególnym podzbiorem. Dalej, możemy twierdzić – posiłkując się teorią kwantową – że zjawiska kwantowe tak naprawdę zachodzą w nieskończenie wymiarowej przestrzeni zespolonej. To, że nie doświadczamy ich bezpośrednio, wynika li tylko z ułomności naszych ludzkich narządów poznawczych. Jednak dzięki matematyce potrafimy na podstawie dostępnych danych empirycznych wywnioskować istnienie owej zespolonej przestrzeni i uchylić rąbka jej tajemnicy.

Niezależnie od tego, do której z tych filozofii nam bliżej, warto pamiętać, że koncepcje, które wydają nam się na początku absurdalne i „nierzeczywiste”, mogą okazać się kluczem do głębszego zrozumienia Przyrody. Jednak aby tak się stało, wolno nam tylko zmyślać sobie w ścisłych matematycznych ramach, a następnie konfrontować nasze rojenia z twardymi danymi empirycznymi.